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Thus, in the unit circle , "the arc whose cosine is x" is the same as "the angle whose cosine is x", because the length of the arc of the circle in radii is the same as the measurement of the angle in radians.

This might appear to conflict logically with the common semantics for expressions like sin 2 x , which refer to numeric power rather than function composition, and therefore may result in confusion between multiplicative inverse and compositional inverse.

Nevertheless, certain authors advise against using it for its ambiguity. Since , the ISO standard has removed the ambiguity by specifying solely the "arc" prefix for the inverse functions.

Since none of the six trigonometric functions are one-to-one , they are restricted in order to have inverse functions.

Therefore the ranges of the inverse functions are proper subsets of the domains of the original functions. When only one value is desired, the function may be restricted to its principal branch.

With this restriction, for each x in the domain the expression arcsin x will evaluate only to a single value, called its principal value. These properties apply to all the inverse trigonometric functions.

This makes some computations more consistent. If x is allowed to be a complex number , then the range of y applies only to its real part.

Trigonometric functions of inverse trigonometric functions are tabulated below. A quick way to derive them is by considering the geometry of a right-angled triangle, with one side of length 1, and another side of length x any real number between 0 and 1 , then applying the Pythagorean theorem and definitions of the trigonometric ratios.

Purely algebraic derivations are longer. Whenever the square root of a complex number is used here, we choose the root with the positive real part or positive imaginary part if the square was negative real.

This is derived from the tangent addition formula. The derivatives for complex values of z are as follows:. For a sample derivation: Integrating the derivative and fixing the value at one point gives an expression for the inverse trigonometric function as a definite integral:.

When x equals 1, the integrals with limited domains are improper integrals , but still well-defined. Like the sine and cosine functions, the inverse trigonometric functions can be calculated using power series , as follows.

Series for the other inverse trigonometric functions can be given in terms of these according to the relationships given above.

Another series is given by: Leonhard Euler found a series for the arctangent that converges more quickly than its Taylor series:. Two alternatives to the power series for arctangent are these generalized continued fractions:.

The second of these is valid in the cut complex plane. The partial denominators are the odd natural numbers, and the partial numerators after the first are just nz 2 , with each perfect square appearing once.

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